有边界的线性拟合方法保证拟合时收率被限制在边界内，误差限制法保证收率不偏离基础收率太远，现在只有约束2（所有出料对某一种进料的收率和等于1）还没有满足，本节将介绍一种线性变换的方法来满足此约束，从而求得最终的收率W。

利用进料矩阵X和基础收率B求得基础出料矩阵，用YB表示。

YB=X*B

对比Y与YB的差距，得到两者的偏差矩阵，用E表示。

E=Y-YB

用误差限制法计算偏差收率边界BD

BD=bd(X,Y,B,rg)

其中bd(…)是误差限制法，rg是边界调节比例rg∈[0,1]。

用有边界的线性拟合算法拟合X与E，得到偏差收率，用WE表示。

WE=BDfit(X,E,BD)

其中BDfit(…)是有边界线性拟合算法。

WE不能保证W满足约束2，但可以经过线性变换，在损失准确性最小的情况下得到满足约束条件的最佳偏差收率WD。

WD=L(WE)

其中L(…)是某种线性变换。

我们期望WD与基础收率B相加得到收率W，对W约束就转换为对WD的约束，如下图：

d_ij和u_ij分别是上界和下界。

理想情况下，WE各行的总和WRL是0，即WE的每一列与其他列的加和是线性关系。

利用这一线性关系可以对WE进行线性变换得到满足约束2的WD。

假设WE矩阵如下：

（1） 计算WE的各行总和WRL：

（2） 计算WE第j列以外的其他向量的总和组成的矩阵WS

（3） 线性变换得到WD

WEc_j，WSc_j，WRL三者有如下关系：

WEc_j+WSc_j=WRL

WEc_j是有边界线性拟合算法得到的第j列最佳收率，则WSc_j=WRL-WEc_j也是准确的，进行如下线性变换得到WD’：

WD’c_j=WEc_j*(n-1)/n+ WSc_j*(-1/n)

=WEc_j*(n-1)/n+(WEc_j-WRL)/n

= WEc_j-WRL/n

其中WD’c_j是线性变换后的矩阵WD’的第j列元素。

线性变换后，相当于某个偏差收率we_ij减去其所在行的收率均值WRL_i。

wd’_ij=we_ij-WRL_i/n

WD’满足约束2，但仍需验证WD’能否使W满足约束1，即w_ij=wd’_ij+b_ij∈[0,1]。

如果W满足约束1，则拟合结束。

WD=WD’

如果存在wd’_ij使得w_ij∉[0,1]时，需要调整变换规则。

假设WE中有z列存在不满足约束的元素。

WE=[WEc₁,WEc₂,…,WEc₍₁₎,…,WEc_(z),…,WEc_n]

其中[WEc₍₁₎,…,WEc_(z)]是存在转换后仍不符合约束条件偏差收率列，即存在：

we_i(p)+ b_i(p)∉[0,1]，p∈[1,z]

刚才的线性变换是WD’c_j=WEc_j*(n-1)/n+WSc_j*(-1/n)，两者的变换系数是确定的，分别是(n-1)/n和(-1/n)，但因为无法满足约束，所以不能用，可以换一个思路，把WEc_j的变换系数固定为1，WSc_j的系数用解方程的方式求出来。

设WSc_j的系数向量是向量A，方程如下：

其中WDc_j是偏差系数矩阵WD的第j列元素。

方程①②即可求得系数向量A，还要考虑基础收率b_ij等于0时，对应的收率we_ij也要等于0。

解方程得到向量A：

有了向量A后，带入方程①中，求得WDc_j。

此时还要再验证一遍WD是否能使W满足约束1，如果满足，则计算结束，求得WD。否则还要把不满足约束条件的那一列加入到[WEc₍₁₎,…,WEc_(z)]，重复上述方法，直到所有w_ij都满足约束1（w_ij=(wd_ij+b_ij)∈[0,1]），得到WD。

最后用WD加基础收率矩阵B得到W。

W=B+WD

SPL例程

A7格中的bd(…)是误差限制法，用来计算偏差收率边界BD；

A8格中的bdfit(…)是有边界的线性拟合算法。

A12格代码块对WE做线性变换；

A24格代码块对WD’做变换；

计算结果示例：

进料X：

出料Y：

基础收率B：

边界调节比例rg：

rg=0.1

算出的边界BD：

最终的收率W：

先来看使用基础收率B，各出料的MSE：

MSE₁=12.24

MSE₂=16.24

MSE₃=8.98

其中MSE_j是第j个出料的MSE。

再看使用W，各出料的MSE：

MSE₁=10.97

MSE₂=5.13

MSE₃=3.86

很明显是拟合后的W效果更好。