5.5 定位选出

从序列中取出子序列（也就是集合取子集）是常见运算，我们已经学过用 to 函数和数列根据成员的位置取出子序列。

有时候我们希望从序列尾部按倒数次序取成员，当然可以用序列长度计算出正数的序号，但有点麻烦。SPL 提供了函数可以使用倒数次序。

函数 A.m(i) 将取出 A 的第 i 个成员，如果 i<0 时取出倒数第 -i 个成员，即

A.m(i)=A(if(i>0,i,i+A.len()+1))

类似地，p 是允许有负数成员的长度为 k 的数列时，有函数

A.m(p)=[A.m(p(1)),…,A.m(p(k))]

经常会使用 A.m(-1) 用来取出 A 的最后的个成员，帕斯卡三角可以再简化一点：

	A	B
1	5	=[[1],[1,1]]
2	for A1-1	=B1.m(-1).(~+~[-1])
3		>B1=B1|[B2|1]

还可以按某个步长取成员：

A.step(k,i)=[A(i),A(i+k),A(i+2*k),…]

从第 i 个开始，每隔 k 个取一个。

A.step(2,1) 将取出奇数序号的成员，A.step(2,2) 取出偶数序号的成员。

当然，更常见的还是选择出满足某个条件的成员：

A.select(x) 将返回由 A 中使 x 为 true 的成员构成的序列，其中 x 中可以使用 ~ 和 #等循环函数中允许的符号。select 称为选出函数，它也是个循环函数。

选出函数特别常用，我们举几个例子：

	A	B
1	[13,30,45,23,42,98,61]
2	=A1.select(~%2==0)	[30,42,98]
3	=A1.select(~>30)	[45,42,98,61]
4	=A1.select(~>~[-1])	[13,30,45,42,98]
5	=A3.select((~-~[-1])%2==0)	[98]

B 列的常数是 A 列选出函数的结果，A5 是在 A3 的基础上进一步做选出。

其实，A.step 也可以由选出函数表示，即

A.step(k,i)==A.select( #-i>0 && (#-i)%k==0 )

实际上是用序号作为条件来实现选出的结果。

利用这些函数，我们来计算 1000 内的质数表：

	A	B	C
1	=to(1000)	>A1(1)=0
2	for 2,31	if A1(A2)==0	next
3		>A1.step(A2,2*A2).select(~>0).run(A1(~)=0)
4	=A1.select(~>0)	=A4.select(~[1]-~==2).([~,~+2])

1000 之内的合数，总有一个不超过<32 的质因子。我们只要拿 32 内的整数去筛选数列 to(1000)，把这些数的倍数都排除掉（相应位置的成员填为 0），剩下不是 0 的成员就必然是质数了。

A1 生成目标数列，B1 先把 1 排除掉（1 不算质数），即将该位置成员填成 0。然后 A2 从 2 开始循环到 31，如果这个位置的成员已经是 0，说明它是合数，不用管了，跳到下一轮循环。如果是质数，则把它的所有倍数所在位置挑出来，即 A1.step(A2,A2*2)，注意要从 A2*2 开始，把 A2 自己跳过去，因为 A2 是个质数要留下。然后这些位置上的成员可能已经有 0 的，说明被之前面轮次给筛掉了，把这些要排除掉，即用 select(~>0) 留下不是 0 的，这些位置都是 A2 的倍数，也就是合数，将这些位置的成员置为 0，然后进入下一轮循环。

全部做完后，再选出剩下的非 0 成员，就是所有的质数了。B4 顺便在此基础上计算出这里面所有的孪生质数对（相差等于 2 的质数），使用了选出函数和我们学过 A.()，结果是个二层序列。

选出运算将从序列中取出成员，反过来，我们还会关心某个数据是不是在序列中以及在序列中的位置。

函数 A.pos(x) 将返回 x 在 A 中的位置，更严格地说，是找出某个 i 使得 A(i)==x，如果有多个 A(i) 都和 x 相同，则会返回第 1 个，如果找不到，则返回 null。后面这种情况更为常用，即用 pos 函数返回值是否 null 来判断某个数据是否在序列中。

类似地，还有个 A.pseg(x) 函数，对于成员值递增的序列 A，就是满足 A(i)>A(i+1)，该函数将返回 x 会落在哪一段，即如果 A(i)<=x<A(i+1)，则 pseg 将返回 i；如果 x<A(1)，它将返回 0；如果 A.m(-1)<x，则返回 A.len()。我们以递增序列为例说明，其实它对递减序列也成立，不过这些小于号都要改成大于号。

日常工作中常常会有分段统计的需求，比如年龄段、销售额分段等，这时候都可以使用 pseg 函数，但我们要等后面学过结构化数据之后再来举这类例子了。

前面那个数字黑洞问题，理论上还可能出现循环的情况，即 a 变成 b，b 变成 c，c 又变回 a，这时候也会导致无穷无尽地循环下去，但我们现在的程序还无法识别出这种情况。只是因为我们事先做过功课，确定地知道四位数中只有单一的黑洞，所以代码也就那么写了，但换其它位数就不一定了。

利用 pos 函数可以找这种循环情况，同时利用 pseg 函数和 insert 函数还能改进排序。

	A	B	C	D
1	5	12345	=A1.run(~=if(#>1,~[-1]*10,1))
2	for	=[]	=C1.(B1\~%10)
3		for C2	=B2.pseg(B3)	>B2.insert(if(C3==B2.len(),0,C3+1),B3)
4		=C1.sum(B2(#)*~)		=C1.sum(B2.m(-#)*~)
5		=@|B1	>output(B1)	>B1=B4-D4
6		if B5.pos(B1)		break

这段程序可以寻找任意位数的数字黑洞。A1 是位数，B1 是起始值。

这里我们运用了之前学过的各种技巧，C1 先利用 run 计算出一个序列 [1,10,100,…]，C2 格利用它来拆解出各位数字。排序现在只要一行了，目前结果放在 B2 中，B3 针对每位数字循环，在 C3 用 pseg 找出新数字应该插入的位置，在 D3 用 insert 插入，循环结束时 B2 就是从小到大排列的数字了。B4 和 D4 再次利用 C1 计算出大数和小数。B5 中的 @表示它自己，在程序开始运行时会自动把所有格值清空，那么这个表达式将会不断累积计算出来的数，用一个序列记录这些数。B6 中如果发现新计算出来的数已经在序列中，那说明将会出现循环情况了，就该停止了。

需要注意的是， pos 和 pseg 不是循环函数，其参数中的 x 中不能也不必再使用 ~、# 等符号，如果使用了，则被认为是上一层循环函数的（这些函数可能被嵌套在循环函数中）。

这些道理，我们在本章最后还会再讲解。

我们会关心满足条件的成员，但有时还会关心这些成员的位置。比如我们想从 12 个月的销售额序列中找出哪些月份发生了增长。使用 select 函数只能找出增长的成员，并不能获得发生增长的成员所在的位置。

A.pselect(x) 函数可以帮助我们，它将返回使 x 为 true 的成员序号。换用循环函数的符号来说，就是 select 会返回由 ~ 构成的序列，而 pselect 将返回对应的 #。pselect 被称为定位函数。

我们来试一下：

	A	B
1	[13,30,45,23,42,98,61]
2	=A1.pselect(~%2==0)	[2,5,6]
3	=A1.pselect(~>30)	[3,5,6,7]
4	=A1.pselect(~>~[-1])	[1,2,3,5,6]

我们期望 A 列的计算结果就是 B 列的值，然而，却不是？A2,A3,A4 分别返回了 2,3,1，只是 B 列序列的第 1 个值。

这是怎么回事？

原来，pselect 函数就是这么约定的，它只返回第一个满足条件的 #。

那么，我们希望像 select 那样能返回所有满足条件的 #，该怎么办？

	A	B
1	[13,30,45,23,42,98,61]
2	=A1.pselect@a(~%2==0)	[2,5,6]
3	=A1.pselect@a(~>30)	[3,5,6,7]
4	=A1.pselect@a(~>~[-1])	[1,2,3,5,6]

在函数名后面加个 @a 就可以了。

这又是个什么东西？

@a 这种写法是 SPL 发明的，称为函数选项。理论上讲， pselect 和 pselect@a 是两个无关的不同函数，但这两个函数非常像，都是针对序列的，参数也一样，完成的功能虽然不完全相同，但也很类似。这种时候，我们更愿意把其中一个看成是另一个的变种，在起名时使用相似的名字，这样对于理解和记忆都会更方便一点。

但这两个函数总还是有不同，需要区分。在 SPL 中我们用相同的名字来命名这两个函数，而用函数名后 @后面的字符来区分，好象一个函数有了不同的模式：没有 @a 时，pselect 只返回第 1 个，有 @a 时将返回所有。

SPL 中这种有选项的函数非常多，而且选项常常还不只一种。比如 pselect 还有个 @z 的选项，表示从后面往前找。上例中，A1.pselect@z(~%2==0) 将返回 6。而且，这些选项还可能组合使用，A1.pselect@az(~%2==0) 表示从向往前找所有满足条件的 #，结果会返回 [6,5,2]。

选项书写是没有次序的，pselect@az 和 pselect@za 是一样的。

对应地，select 函数有个 @1 选项，表示找到第一个满足条件的成员就返回。这样的设计的原因是 select 返回所有的情况更常见，而 pselect 返回第 1 个的情况更常见。

SPL 的函数选项能大大简化代码的编写。目前其它程序语言都没有这种语法，有些语言的函数也有选项概念，但一般是作为一个独立参数存在的。我们后面还会看到，在结构化数据处理时，参数会有很复杂的情况，把选项信息作为参数传递并不方便。

我们会用 max 函数找出序列成员的最大值，同样地，我们也可能还会关心最大值所在的位置，SPL 也提供了 A.pmax() 函数来返回对序列 A 中最大值所在的位置。

一个序列的最大值是唯一的，但取值最大的成员却可能有多个，所以 pmax 也和 pselect 类似，缺省返回第一个最大值所在的位置，加选项 @a 则会返回所有，@z 则会从后往前找。

pmax 函数不难理解，这里就不举例子了。而且，对应地当然还也会有 pmin 函数。

我们把 pmax 提出来讲，是为了加深对定位函数的理解。pmax 也是一种定位函数，定位是常见的运算，但很多程序语言中都没有提供相应的库函数，SPL 特别关注了这种运算。

忘了提一句，pos 函数也有 @a 和 @z 选项。

容易被忽略的是，与 max 相关还有选出函数 maxp。

A.maxp()的定义是 A(A.pmax())，就是返回最大值对应的那个成员。

仔细想一下，它不就是 A.max() 吗？为什么还要再造一个新函数？

还是不一样的。简单看，A.pmax()有 @a 选项，它可能返回多个值，这样 A.maxp@a() 也可能返回一个序列，但 A.max() 则不会返回序列的。

不过，A.maxp@a() 即使是序列，成员也都相同，似乎没什么太大意思。

更大的不同在于有参数的情况。A.max(x) 会返回最大的 x，而 A.maxp(x) 则会返回使 x 最大的那个成员。比如:

	A	B
1	[13,30,45,23,42,98,61]
2	=A1.max(~%10)	8
3	=A1.maxp(~%10)	98

看出区别了吗？

我们知道，A.max(x) 就是 A.(x).max()，A.pmax(x) 也等于 A.(x).pmax()，但是，A.maxp(x) 却不是 A.(x).maxp()，它还是定义为 A(A.pmax(x))。

max 返回最大值本身，而 maxp 返回的是使最大值出现的那个成员，对于单纯的序列而言，它们是一样的，但配有表达式时，就可以发现它们的区别了。在后面要涉及到的结构化数据处理中，这种运算是很常见的，比如我们经常会更关心导致销售额最高的那个产品，而不是最高的销售额本身。

max 不是选出函数，它返回的是值。而 maxp 返回的成员（构成的序列），是选出函数。和定位函数类似，选出函数也是一大类运算。

当然也还会有 minp 函数。

【程序设计】 前言及目录
【程序设计】5.4 [一把抓] 迭代函数 *
【程序设计】5.6 [一把抓] 排序相关