在报表的数据统计中，常常会根据精度呈现或者单位换算等要求，需要对数据执行四舍五入的操作，这种操作称为舍位处理。简单直接的舍位处理有可能会带来隐患，原本平衡的数据关系可能会被打破。

为了保证报表中数据关系的正确，就需要调整舍位之后的数据，使得数据重新变得平衡，这样的调整就叫做舍位平衡。在这里我们就讨论一下如何利用集算器来处理舍位平衡问题。

舍位处理往往会采取四舍五入计算，这时就会产生误差，而如果报表中有这些数据的合计数值，那么舍位时产生的误差就会积累，有可能导致舍位过的数据与其合计值无法匹配。例如，保留一位小数的原始的数据是4.5+4.5=9.0，而四舍五入只保留整数部分后，平衡关系就变为5+5=9了，看上去明显是荒谬的。在这样的情况下，需要在保持合计值正确的条件下，调整非合计数据舍位后的结果，使得数据关系重新平衡，例如调整为4+5=9。这个简单的例子就是典型舍位平衡。

1. 单向舍位平衡

如果在数据统计时，每个数据只用于一次合计，那么在处理舍位平衡时，只需要根据合计值的误差，调整使用的各项数据就可以了，这属于比较简单的情况。例如：

	A	B	C
1	[1.48,0,1.42,0.32,6.48,0.98,1.39]	=A1.sum()
2	=A1.(round(~))	=round(B1)	=A2.sum()

A1的序列中存储了一些数据,在B1中计算了它们的合计值，结果如下：

现在，将数据取整，重新统计。A2中将序列中每个数据用round函数四舍五入取整，得到新的序列。在B2中则将B1中的结果取整，这是数据取整后应该获得的结果。在C2中则只是简单地用取整后的数据来求和。A2，B2和C2中结果分别如下：

显然，舍位后误差的累积导致数据不再平衡，将原始数据分别四舍五入后，总和由12变成了10。那么，能不能把合计数直接改为10呢？这是不行的，因为这样会使得最终结果与真实值完全不符。因此，为了保证舍位后仍然能够保持平衡关系，应该分别改变各个原始数据舍位后的结果。

舍位后总计产生的误差，称为“平衡差”，舍位平衡其实就是消除平衡差的过程。处理舍位平衡的规则有很多，下面我们分别进行研究：

(1) 将平衡差整理到第一个数据中。即：

	A	B	C
1	[1.48,0,1.42,0.32,6.48,0.98,1.39]	=A1.sum()
2	=A1.(round(~))	>A2(1)+=round(B1)-A2.sum()	=A2.sum()

B2中，把平衡差折算到舍位后的第一个数据中。整理后，在C2中重新计算了舍位平衡处理后的合计值。A2和C2中的结果如下：

这种舍位平衡的处理规则最为简单。但是，舍位后第1个数据由1.48变为了3，明显偏移了很多，因此这样的处理不够合理，特别是在数据很多的情况下，平衡差也有可能会累积的很大，进而致使第1个数据产生非常荒谬的偏移结果。

(2) 将平衡差按照“最小调整值”，对绝对值比较大的数据进行分担调整。

所谓最小调整值，就是舍位后最小精度的单位值，例如在取整时，最小精度就是个位，最小调整值就是1或者-1。如果舍位后合计值变小，则需要将数据调大，那么最小调整值就是1；如果舍位后合计值变大，则需要将数据调小，最小调整值就是-1。而调整只针对绝对值比较大的数据，这样它们的相对偏差就会比较小。具体调整几个数，那就是合计值偏差除以最小调整值。

在这种规则下，前面问题的舍位平衡处理如下：

	A	B	C
1	[1.48,0,1.42,0.32,6.48,0.98,1.39]	=A1.sum()
2	=A1.(round(~))	=round(B1)-A2.sum()	=sign(B2)
3	=A1.psort@z(abs(~))	>abs(B2).run(A2(A3(#))+=C2)	=A2.sum()

因为只是取整操作，因此C2中计算的最小调整值就是合计值偏差的正负；

A3中，根据原始数据的绝对值从大到小做了一个排序，结果就是排序后的序号。

B3是最主要的，因为只是取整操作，所以B2中的偏差绝对值是多少，就调整几个数。以此循环，依照原始值的绝对值大小，依次分配最小调整值。

C3是对调整后的A2重新验证了合计值。

调整后，A2和C3中的结果如下：

在这种方案中，平衡差由多个数据分担，而选择绝对值最大的数据会使得数据的相对变动最小。在结果中，1.48舍位后变为了2，6.48舍位后变为了7，调整平衡的结果还是比较理想的。

这种方案需要将数据按绝对值排序，执行效率不是很好，特别是在数据量比较大的情况下，排序会耗费较多时间。

(3) 将平衡差按照最小调整值，由不为0的数据依次分担。

在上一种调整舍位平衡的方案中，将误差由绝对值最大的一些数据来分担。在实际操作中，为了提高效率，减少排序操作，就可以适当简化，改为由顺序排在前几位的数据来分担。考虑到在四舍五入时，0并不会产生误差，而且如果修改数据中的0，这样的变动会比较明显，因此在调整时将保留原始数据中的0不变。

在这种规则下，前面问题的舍位平衡处理如下：

	A	B	C
1	[1.48,0,1.42,0.32,6.48,0.98,1.39]	=A1.sum()
2	=A1.(round(~))	=round(B1)-A2.sum()	=sign(B2)
3	=A2.pselect@a(~!=0)	>abs(B2).run(A2(A3(#))+=C2)	=A2.sum()

A3中选择出原始数据中非0成员的序号，在B3中调整舍位后数据时，按顺序分担。调整后，A2和C3中的结果如下：

在结果中，1.48舍位后变为了2，1.42舍位后变为了2，调整平衡的结果比较合理。同时这种方案避免了排序操作，效率较高，因此这种舍位平衡的规则最为常用。

 

在处理单向舍位平衡时，并非只有对一组序列求和的情况。更多的情况下，是对一批数据来求和，如下面的SalesRecord.txt中存储的序表：

Name      Jan  Feb  Mar Apr Allen      26106     49637     27760     33829 Billy       56611      50588     54765     76072 Charlie    21249     96825     28645     55958 Daisy      3413       49069     6279       98247 Flora       7590       12072     90034     64252

现在，需要统计每位员工4个月的总销售额，统计时以千元为单位，并处理舍位平衡。代码如下：

	A	B	C	D
1	=file("SalesRecord.txt").import@t()	=A1.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum)	=B1.derive()
2	>5.(C1.field(#+1,C1.field(#+1).(round(~/1000))))	=C1.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum2)
3	for B2	>func(A5,A3)
4	=B2.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum3)
5	func	=A5.Sum-A5.Sum2	=abs(B5)	=sign(B5)*1
6		for C5	=A5.field(1+B6)	>A5.field(1+B6,C6+D5)

分步执行代码，A1中读入序表后，在B1中添加合计字段Sum，结果如下：

在C1中将上面的序表复制，并在B1中将序表中的第2至第6个字段执行舍位计算到以千为单位。此时，有可能由于四舍五入计算破坏平衡，在B2中再添加一个字段Sum2，计算舍位后4个月的合计值。B2中的序表如下：

可以看到，在此时，Sum与Sum2字段是有区别的，说明需要调整舍位平衡。在这里虽然需要调整计算后序表中的数据，但是每个数据只用于计算员工合计，因此仍然属于单向舍位平衡。

A5中的子程序用来处理一条记录的舍位平衡，B5中计算平衡差，C5中计算出最小调整值。在B6中循环，将平衡差拆分到记录中前几个数据中，这里简单处理，并未判断数据是否非零。

在A3中，循环序表B2中的记录，分别调整舍位平衡。调整完毕后，在A4中再添加Sum3字段来验证舍位平衡结果，A4中结果如下：

对比Sum与Sum3可以确认，结果调整，数据舍位后重新达成了平衡。

2. 双向舍位平衡

如果数据在行向和列向两个方向同时需要计算合计值，同时还需要计算所有数据的总计值，这种情况下处理舍位平衡时就复杂得多了。此时处理舍位平衡时，不仅要求最终的总计值准确，同时行向和列向计算的合计值也要与对应行、列的数据平衡，这种情况下的舍位平衡称为双向舍位平衡。如在SalesRecord.txt的数据中，需要再统计每个月的总销售额，代码如下：

	A	B	C
1	=file("SalesRecord.txt").import@t()	>A1.insert(0,"Total")	>4.(A1.m(-1).field(#+1,A1.field(#+1).to(,   5).sum()))
2	=A1.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum)	=A2.derive()	>5.(B2.field(#+1,B2.field(#+1).(round(~/1000))))
3	=B2.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum2)	=A3.derive(Sum2-Sum:Diff)	>B3.insert(0,"Total2")
4	>5.(B3.m(-1).field(#+1, A3.field(#+1).to(,5).sum()))	>B3.insert(0,"Diff")	>5.(B3.m(-1).field(#+1,B3(6).field(#+1)-   B3(7).field(#+1)))

A1中读入序表，并在B1中添加一条记录，用来在D1中计算各月总销售额。再在A2中添加字段计算每位员工的销售总额，以及总合计值后，结果如下：

在C2中根据上面的汇总数据，将结果舍位到以千元为单位。再根据舍位后的数据，在A3中添加字段Sum2计算舍位后的员工合计值，在B3中添加字段Diff员工合计的平衡差。最后，再添加2条记录，分别用来计算每个月的舍位合计值，以及平衡差。计算完成后，B3中结果如下：

可以看到，当横向和纵向分别做汇总时，舍位后需要解决的平衡问题就复杂得多了。此时修改任何一个舍位数据，都会同时影响横向和纵向两个方向的合计计算，这样的问题称为双向舍位平衡。在上面的计算中，有一些平衡差只与合计值相关，如Total这一行中最右侧的平衡差，只与各月的合计有关，这样的平衡差称为合计平衡差。在双向舍位平衡表中，只存在一横一纵两个合计平衡差。其它的平衡差都会和具体数据相关，如Feb这个月最下方的平衡差，这种平衡差称为非合计平衡差。

 

我们先从一些比较简单的情况开始研究双向舍位平衡：

(1)横向与纵向的非合计平衡差符号相同。如下面的情况：

1.44	1.35	2.79
1.2	0	1.2
2.64	1.35	3.99

上面的表格中，存储着2行2列的初始数据，同时计算出了各行各列的合计值，以及所有数据的总计值。下面将这些数据四舍五入取整，并计算每一行/列的平衡差，结果如下：

1	1	3	+1
1	0	1
3	1	4
+1

这里的“非合计平衡差”是指涉及原始数据的平衡差，此时合计数据及总计值都不需要调整。可以看到，此时只是第1行和第1列的合计值不平衡，而且都是合计值比舍位数据的和大1，这种情况下，只需要调整交叉点处的数据，根据平衡差符号加减最小调整值即可。具体操作是把交叉点处，即第1行第1列的数据舍位结果+1，就可获得平衡，结果如下：

2	1	3
1	0	1
3	1	4

 

(2)同向的2个非合计平衡差符号相反。如下面的情况：

1.44	1.55	2.99
1.2	0.85	2.05
2.64	2.4	5.04

将这些数据四舍五入取整，并计算每一行/列的平衡差，结果如下：

1	2	3
1	1	2
3	2	5
+1	-1

这种情况下，仍然不需要调整总计值。由于第1列和第2列中的平衡差一正一负，只需要任选一行平衡差为0的数据，将这两列的数分别根据按平衡差的符号加减最小调整值。如选择第1行，将第1列的舍位结果+1，将第2列的舍位结果-1，就可获得平衡，结果如下：

2	1	3
1	1	2
3	2	5

 

(3)某个合计平衡差与另一方向的非合计平衡差符号相反。如下面的情况：

1.44	1.55	2.99
1.2	0.97	2.17
2.64	2.52	5.16

将这些数据四舍五入取整，并计算每一行/列的平衡差，结果如下：

1	2	3
1	1	2
3	3	5	-1
+1

这种情况下，说明交叉点处的合计数据需要调整，只需要调整交叉点处的合计数据，根据合计平衡差的符号加减最小调整值。在这里，即修改第1列的合计结果，根据横向的合计平衡差，将其-1，即可获得平衡，结果如下：

1	2	3
1	1	2
2	3	5

 

(4)某个合计平衡差与同方向的非合计平衡差符号相同。如下面的情况：

1.48	1	2.48
2.11	1.01	3.12
3.59	2.01	5.6

将这些数据四舍五入取整，并计算每一行/列的平衡差，结果如下：

1	1	2
2	1	3
4	2	6
+1		+1

在这里是列向的合计平衡差与另一列的平衡差符号相同，在这种情况下，可以任选1行平衡差为0的数据，同时调整这2列的数据。如果选择第1行，即同时调整第1行第1列，以及第1行的合计值，将它们分别+1即可获得平衡，结果如下：

2	1	3
2	1	3
4	2	6

 

(5)两个方向合计平衡差的符号相同。如下面的情况：

1.44	1.99	3.43
1.6	0.48	2.08
3.04	2.47	5.51

将这些数据四舍五入取整，并计算每一行/列的平衡差，结果如下：

1	2	3
2	0	2
3	2	6	+1
		+1

此时，只有合计数据影响了结果的平衡。在这种情况下，可以任选一个非合计值，根据合计平衡差的符号加减最小调整值，同样调整这个数据的横向和纵向合计值。在上面例子中，可以任意选择1个数据，如第2行第2列的值，根据平衡差将它+1，同时将第2行以及第2列的合计值同时都+1，这样就可以获得平衡，如下：

1	2	3
2	1	3
3	3	6

由于是任选数据，也有其它的处理方式，如选择第1行第2列的数据修改，同样可以获得平衡，结果如下：

1	3	4
2	0	2
3	3	6

 

在处理双向舍位平衡时，只有上面的5种情况可以调整平衡。对于其它的情况，说明计算有误，是无法通过1次调整达成舍位平衡的。但是在实际处理中，上面的情况往往是混合出现的。因此，可以先处理第(1)种情况，即所有非合计行列平衡差符号相同的情况，再处理第(2)种情况，将非合计行/列中不同符号的平衡差消除。全部调整理完毕后，非合计行与非合计列的平衡差只能各为一种符号。此时再处理第(3)种和第(4)种情况，将非合计行/列的平衡差与合计行/列的平衡差配合消除。最后，如果两个方向行/列的平衡差仍未消除，再按照第(5)中情况处理。这样，就可以对一般性的表格完成双向舍位平衡处理了。

再回到这一节开始时的销售数据表，下面的代码将处理其中的舍位平衡：

	A	B	C	D	E
1	=file("SalesRecord.txt").import@t()	>A1.insert(0,"Total")	>4.(A1.m(-1).field(#+1,A1.field(#+1).to(,   5).sum()))
2	=A1.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum)	=A2.derive()	>5.(B2.field(#+1,B2.field(#+1).(round(~/1000))))
3	=B2.derive(Jan+Feb+Mar+Apr:Sum2)	=A3.derive(Sum-Sum2:Diff)	>B3.insert(0,"Total2")
4	>5.(B3.m(-1).field(#+1,A3.field(#+1).to(,5).sum()))	>B3.insert(0,"Diff")	>5.(B3.m(-1).field(#+1,B3(6).field(#+1)-   B3(7).field(#+1)))
5	=B2.len()	=B2.fno()	=B3.(Diff).to(,A5)	=B3.m(-1).array().to(2,B5)
6	for A5-1	for B5-2	for C5(A6)*D5(B6)>0	=sign(C5(A6))	>func(A26,B2(A6),B6+1,D6)
7				>C5(A6)-=D6	>D5(B6)-=D6
8	for A5-2	for A5-1-A8	for C5(A8)*C5(A8+B8)<0	=sign(C5(A8))	=D5.pselect(~==0)
9				>func(A26,B2(A8),E8+1,D8)	>func(A26,B2(A8+B8),E8+1,-D8)
10				>C5(A8)-=D8	>C5(A8+B8)+=D8
11	for B5-3	for B5-2-A11	for D5(A11) * D5(A11+B11) < 0	=sign(D5(A11))	=C5.pselect(~==0)
12				>func(A26,B2(E11),A11+1,D11)	>func(A26,B2(E11),A11+B11+1,-D11)
13				>D5(A11)-=D11	>D5(A11+B11)+=D11
14	if C5(A5)!=0	for B5-2	for C5(A5)*D5(B14)<0	=sign(C5(A5))	>func(A26,B2(A5),B14+1,D14)
15				>C5(A5)-=D14	>D5(B14)+=D14
16	if D5(B5-1)!=0	for A5-1	for C5(B16)*D5(B5-1)<0	=sign(D5(B5-1))	>func(A26,B2(B16),B5,D16)
17				>D5(B5-1)-=D16	>C5(B16)+=D16
18	if C5(A5)!=0	for A5-1	for C5(A5)*C5(B18)>0	=sign(C5(A5))	=D5.pselect(~==0)
19				>func(A26,B2(B18),E18+1,D18)	>func(A26,B2(A5),E18+1,D18)
20				>C5(A5)-=D18	>C5(B18)-=D18
21	if D5(B5-1)!=0	for B5-2	for D5(B21)*D5(B5-1)>0	=sign(D5(B5-1))	=C5.pselect(~==0)
22				>func(A26,B2(E21),B5,D21)	>func(A26,B2(E21),B21+1,D21)
23				>D5(B5-1)-=D21	>D5(B21)-=D21
24	if C5(A5)*D5(B5 -1)>0	>func(A26,B2(1),2,C5(A5))	>func(A26,B2(1),B5,C5(A5))	>func(A26,B2(A5),2,C5(A5))
25		>C5(A5)=0	>D5(B5-1)=0
26	func
27		=A26.field(B26)	>A26.field(B26,B27+C26)

程序比较复杂，下面简要说明一下功能。A26处的子程序用来修改序表中的1条记录，将其指定位置的数据加上所需的调整值。由于用于计算的序表中，第一列为Name，实际并不参与计算，因此整理数据时将其跳过。C5和D5中分别获得横向和纵向的平衡差序列。在第6、7行，循环处理第(1)种情况，如果两个方向的平衡差符号相同，改变交叉点处的舍位结果。在第8~13行，分横纵两种情况，处理第(2)种情况，如果同向的两个平衡差符号相反时，修改这两行/列中的舍位结果。第14~17行，处理第(3)种情况，当合计平衡差与另一方向的非合计平衡差符号相反时，调整交叉点处的合计结果。在第18~23行，处理第(4)种情况，当合计平衡差与同方向的非合计平衡差符号相同时，修改这两行/列中的数据。最后，在第24和25行，判断前面的修改完成后，是否仍然存在两个合计平衡差，此时相应调整第1个数据的舍位结果，同时调整第1行和第1列的合计值。

双向舍位平衡处理完成后，在B2中可以查看最终结果：

运算时，处理过程如下：

Name	Jan	Feb	Mar	Apr	Sum	Diff
Allen	26.0	50.0	28.0	34.0	137.0	-1
Billy	57.0	51.0	55.0	76.0	238.0	-1
Charlie	21.0	97.0	29.0	56.0	203.0	0
Daisy	3.0	49.0	6.0	98.0	157.0	1
Flora	8.0	12.0	90.0	64.0	174.0	0
Total	115.0	258.0	207.0	328.0	909.0	1
Diff	0	-1	-1	0	0

执行第(1)步处理，将不同方向上符号相同的非合计平衡差消除后，结果如下：

Name	Jan	Feb	Mar	Apr	Sum	Diff
Allen	26.0	49.0	28.0	34.0	137.0	0
Billy	57.0	51.0	54.0	76.0	238.0	0
Charlie	21.0	97.0	29.0	56.0	203.0	0
Daisy	3.0	49.0	6.0	98.0	157.0	1
Flora	8.0	12.0	90.0	64.0	174.0	0
Total	115.0	258.0	207.0	328.0	909.0	1
Diff	0	0	0	0	0

这个例子中，执行第(1)步处理后，并没有符号相反的非合计平衡差，不需执行第(2)步处理。在第(3)步处理中，查找合计平衡差是否与另一方向上的非合计平衡差符号相反的情况，同样不存在。

在第(4)步处理中，查找合计平衡差与同向的非合计平衡差符号相同的情况，处理结果如下：

Name	Jan	Feb	Mar	Apr	Sum	Diff
Allen	26.0	49.0	28.0	34.0	137.0	0
Billy	57.0	51.0	54.0	76.0	238.0	0
Charlie	21.0	97.0	29.0	56.0	203.0	0
Daisy	4.0	49.0	6.0	98.0	157.0	0
Flora	8.0	12.0	90.0	64.0	174.0	0
Total	116.0	258.0	207.0	328.0	909.0	0
Diff	0	0	0	0	0

此时，所有的平衡差已经都变为了0，说明各个方向上的计算已经恢复平衡，舍位平衡处理完成。如果仍未平衡，则需要进一步执行第(5)步处理。