多维空间中的点可能是“聚集”的，也可能是散布在空间中的，怎么衡量空间中点分布的“离散程度”呢？

观察这两幅图，第一幅图有明显的聚集效应，多数点“聚集”在下方，少数点散布在上方，“离散程度”小；第二幅图聚集效应不太明显，分散在空间中的各个位置，“离散程度”大。

描述多维空间中点分布“离散程度”的量称为空间离散度。空间离散度越大，分布越离散，聚集效应越差。反之则分布集中，聚集效应越明显。

空间离散度可以这样描述：将多维空间切成若干个小空间，当点均匀落在这些小空间时，空间离散度大；当点集中落在某几个小空间中时，空间离散度小。

信息熵是描述信息源各可能事件发生的不确定性的量，不确定性越大，信息熵越大，不确定性越小，信息熵越小；空间离散度是描述点落入小空间可能性差别大小的量，落入各小空间的可能性差别越小（不确定性越大），空间离散度越大，落入各小空间的可能性差别越大（不确定性越小），空间离散度越小，因此可以用信息熵计算公式来计算空间离散度。

H(U)=sum(-P(u)*log₂(P(u))),u∈U

其中H(U)是信息熵，U是所有事件的集合，u是某个事件，P(u)是事件u发生的概率。

多维时间序列X

1. 均分各维度

将各维度平均切成h段，整个空间会被分为h^m个小空间。

P^(j)=[p^(j)₁, p^(j)₂,…, p^(j)_h]

p^(j)_l=min(Xc_j)+(max(Xc_j)-min(Xc_j))/h*(l-1)，l∈[1,h]

其中P^(j)是第j维时间序列的切分点序列，p^(j)_l是均分Xc_j的第l个切分点值。

2. 按切分空间为点标记位置信息

x_ij’= P^(j).pseg(x_ij)

其中x_ij’是x_ij在P^(j)中的位置。比如p^(j)₁≤x_ij< p^(j)₂，则x_ij’=1，说明x_ij属于在第j维度属于第1小段。

3. 统计同一小空间中点的个数

Sp=X’.group(~)

spd_s=count(sp_s)

其中Sp是有点落入的空间组，一个组就是1个小空间，spd_s是第s个组sp_s中点的个数。我们知道切分的总空间数是h^m个，但可能有些空间没有点落入，所以通常情况下Sp内的组数是小于h^m的。

4. 点落入各小空间的概率

把各空间落入的点数占总点数的比例作为落入该小空间的概率。

spp_s= spd_s/n

其中spp_s是落入第s个组的点数占总点数的比例。

5. 信息熵

etp=sum(-spp_s *log₂(spp_s))

6. 空间离散度

信息熵有个特点，有点落入的空间组数越多，信息熵越大。通常情况下各维度切分的小空间数越多，有点落入的空间组数就越多，在单维度分段数相同的情况下，维度数越多，小空间数就越多，这导致维度数越多，信息熵越大。为了消除维度数对信息熵的影响，我们除以一个与维度相关的值就可以把维度数对信息熵的影响消除，把消除影响的值作为空间离散度。

dsp=etp/-log₂(1/n)

SPL例程

计算结果示例：

第一幅图是“DSP0.csv”和“DSP1.csv”两个维度数据呈现的二维图，计算出的空间离散度是0.560。

第二幅图是“DSP0.csv”和“DSP2.csv”两个维度数据呈现的二维图，计算出的空间离散度是0.818。

计算的结果和我们直观的感受一样，第二幅图空间离散度大于第一幅图。