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     ...

回归模型的假设检验

 

在多元线性回归模型中，因变量y 和自变量..之间是否存在线性关系以及回归系数的显著性是需要检验的，比如在下面的例子中我们可以通过F 检验和 t 检验来分析判断自变量和因变量之间的关系。

表中的数据为某养猪场25 头育肥猪 4 个胴体性状的数据资料，需要进行瘦肉量 y 对眼肌面积x1、腿肉量x2、腰肉量x3的多元回归分析

序号 眼肌面积x1 腿肉量x2 腰肉量x3 瘦肉量y
1 23.73 5.49 1.21 15.02
2 22.34 4.32 1.35 12.62
3 28.84 5.04 1.92 14.86
4 27.67 4.72 1.49 13.98
5 20.83 5.35 1.56 15.91
6 22.27 4.27 1.5 12.47
7 27.57 5.25 1.85 15.8
8 28.01 4.62 1.51 14.32
9 24.79 4.42 1.46 13.76
10 28.96 5.3 1.66 15.18
11 25.77 4.87 1.64 14.2
12 23.17 5.8 1.9 17.07
13 28.57 5.22 1.66 15.4
14 23.52 5.18 1.98 15.94
15 21.86 4.86 1.59 14.33
16 28.95 5.18 1.37 15.11
17 24.53 4.88 1.39 13.81
18 27.65 5.02 1.66 15.58
19 27.29 5.55 1.7 15.85
20 29.07 5.26 1.82 15.28
21 32.47 5.18 1.75 16.4
22 29.65 5.08 1.7 15.02
23 22.11 4.9 1.81 15.73
24 22.43 4.65 1.82 14.75
25 20.04 5.08 1.53 14.35

要求：（1）求 y 关于x1，x2，x3的线性回归方程

..

计算..的估计值

(2)对上述回归模型和回归系数进行检验，显著性水平α取0.05

分析：

（1）线性回归可以采用最小二乘法进行拟合，使用linefit()，返回拟合回归系数..

（2）使用F 检验 y 和..之间是否存在线性关系，如通过检验，则继续使用t 检验回归系数的显著性，需要计算的统计量有：F，..，t，..。

计算公式如下：

..

其中：m 表示分子自由度，n 表示样本数量

回归平方和：..

残差平方和：..

..

其中..为..中的第（j+1,j+1）个元素

..，..可使用逆累积函数finv()和tinv()计算

用SPL 实现计算：

（1）采用最小二乘法，拟合回归方程

..

求解出..的估计值


 A B C D
1

[[1,23.73,5.49,1.21],[1,22.34,4.32,1.35],[1,28.84,5.04,1.92],[1,27.67,4.72,1.49],

[1,20.83,5.35,1.56],[1,22.27,4.27,1.5],[1,27.57,5.25,1.85],[1,28.01,4.62,1.51],

[1,24.79,4.42,1.46],[1,28.96,5.3,1.66],[1,25.77,4.87,1.64],[1,23.17,5.8,1.9],

[1,28.57,5.22,1.66],[1,23.52,5.18,1.98],[1,21.86,4.86,1.59],[1,28.95,5.18,1.37],

[1,24.53,4.88,1.39],[1,27.65,5.02,1.66],[1,27.29,5.55,1.7],[1,29.07,5.26,1.82],

[1,32.47,5.18,1.75],[1,29.65,5.08,1.7],[1,22.11,4.9,1.81],[1,22.43,4.65,1.82],

[1,20.04,5.08,1.53]]

 3 25 0.05
2

[15.02,12.62,14.86,13.98,15.91,12.47,15.8,14.32,13.76,15.18,14.2,17.07,

15.4,15.94,14.33,15.11,13.81,15.58,15.85,15.28,16.4,15.02,15.73,14.75,14.35]


3 =linefit(A1,A2)


A1 输入矩阵X

B1 输入m 值，本例中 m=3

C1输入n 值，本例中 n=25

D1输入α，本例中α=0.25

A2 输入Y

A3 最小二乘拟合方程组，返回回归系数..的估计值

..

（2）使用F 检验因变量 y 与自变量..之间是否存在线性关系。令原假设为

..。在显著性水平α下，若..，则接受..，否则拒绝


 A B C D
… …


4 =mul(A1,A3).conj()


5 =(A2--A4).sum(~*~)


6 =A2.avg()


7 =A4.sum((~-A6)*(~-A6))


8 =(A7/B1)/(A5/(C1-B1-1))


9 =finv((D1/2),B1,(C1-B1-1))


10 =finv((1-D1/2),B1,(C1-B1-1))


11 =if(A8>A9&&A8<A10,"accept H0,model do not pass","refuse H0,model pass")


A4 将X 与回归系数相乘，得到预测值

A5 计算残差平方和SSE

A6 计算..

A7 计算回归平方和SSR

A8 计算统计量F，F=37.753

..

A9使用F 逆累积分布函数 finv()计算上1-α/2分位数

..

A10 使用F 逆累积分布函数 finv()计算上α/2分位数

..

A11 比较F和，..，返回检验结果

..

（3）当H0被拒绝时,..不全为0，但不排除其中若干个等于 0，所以应进一步做 m+1个t 检验：

..

对于给定的α，若..，则接受，否则拒绝..


 A B C D
… …


12 =inverse(mul(transpose(A1),A1))


13 =A3.conj().(~/sqrt(A12(#)(#))/sqrt(A5/(C1-B1-1)))


14 =tinv((1-D1/2),(C1-B1-1))


15 =A13.(if(abs(~)<A14,"accept c"/(#-1)/"=0","refuse c"/(#-1)/"=0"))


A12 计算..

A13 计算..，从上到下依次为..

..

A14 使用t逆累积分布函数tinv()计算t 分布的上α/2分位数

A15比较..和..，返回检验结果

..

由结果可知变量x1对模型的影响是不显著的，建立线性模型时可以不使用x1