算法背景

很多仪表设备都能定时产生一些数据，称之为时间序列。

下图是一张时间序列的走势图，横轴是时间(dd hh:mm)，纵轴是数值。

数据的波动很大，看局部会有点杂乱无章的感觉，但观察整张图又隐约可以看出曲线的走势（平稳——下降——平稳），能不能用数学方法把曲线的总体走势描述出来呢？这样将有利于分析设备仪表的工作状况。

答案是可以的。

下面就来介绍如何利用原始数据拟合出曲线的趋势线。

算法原理

我们把描述时间序列趋势的曲线称为主线。主线上相邻点之间的距离称为主线距离，同一时刻主线上的点与原值的距离称为原值距离。我们当然希望主线是平滑的，否则就和原值一样看起来杂乱无章了，所以所有的主线距离之和要尽量小，也就是说主线相邻点的值变化小，这样主线就会少一些剧变，更平滑一些。同时主线要能表征原值的特点，所以也要与原值接近，否则只考虑平滑时主线就成一条平直线了，这时候就要求所有的原值距离之和也要尽量小，这样主线偏离原值就更少。以这两者加权后的总和最小为目标，就可以拟合出一条主线，而调整权重则可以使主线更平滑或者更接近原值。

算法过程

时间序列用X表示：

X=[x₁,x₂,…,x_n]

其中x_i是序列X的第i个元素。

设主线为M：

M=[m₁,m₂,…,m_n]

其中m_i是序列M的第i个元素。

1.      计算主线距离

主线距离用MD表示

原值距离用VD表示。

2.      平衡两类距离的最小值

设置平衡系数k来平衡两类距离的权重，则总距离D

D=VD+k*MD

3.      优化m_i使总距离D最短

对每个m_i求偏导：

转换后的问题变为解多元线性方程问题。

系数矩阵用C表示

矩阵中未填写数值处都是0。

C*M=X

解上述方程就得到了主线M。

M=linefit(C,X)

其中linefit()是解线性方程的函数。

这里需要说明两点：

1.      平衡系数调节两类距离的权重，k越大，主线距离MD占比越大，主线越平滑，k越小，原值距离VD占比越大，主线越接近原值。当k=0时，主线就是原值。当k=∞时，主线是一个常数，常数值等于原值的平均值。

2.      系数矩阵C是一个n*n方阵，因此它的计算受到了这个方阵大小的限制（n很大时，计算机内存很可能存不下这个n*n方阵）。仔细观察系数矩阵C，可以将其转换一个n*3的矩阵，利用矩阵变换规则同样可以求得主线M，这样就可以求n很大时的主线。

写出代码

输入参数说明：

1.      seq：时间序列X

2.      k：平衡系数k，k越大，主线越平滑。

3.      代码是用矩阵变化的方式解方程的，因此n可以很大。

应用举例

时间序列X如下图：

图中横轴是时间（dd hh:mm），纵轴是序列中的值。

不同k的主线如下图：

M_10：k=10时的主线。

M_100：k=100时的主线。

M_1000：k=1000时的主线。

k越大时，主线越平滑。